Transformer un cercle en carré est possible avec ce kirigami

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Kirigami amène les livres pop-up à un tout autre niveau. L'artisanat du papier japonais consiste à découper des motifs dans du papier pour transformer une feuille bidimensionnelle en une structure tridimensionnelle complexe lorsqu'elle est partiellement pliée. Entre les mains d'un artiste, le kirigami peut produire des répliques remarquablement détaillées et délicates de structures dans la nature, l'architecture, etc.

Les scientifiques et les ingénieurs se sont également inspirés du kirigami, appliquant les principes de la découpe du papier pour concevoir des pinces robotiques, des composants électroniques extensibles, des feuilles de récupération d'eau et d'autres matériaux et dispositifs à changement de forme. Pour la plupart, ces inventions sont des produits de conception à partir de zéro. Il n'y a eu aucun plan permettant aux ingénieurs de déterminer le modèle de coupes qui transformera un matériau d'une forme souhaitée à une autre, c'est-à-dire jusqu'à présent.

Une nouvelle étude dans Nature Computational Science présente une stratégie de calcul générale qui peut résoudre toute transformation bidimensionnelle inspirée du kirigami. La méthode peut être utilisée pour déterminer l'angle et la longueur des coupes à effectuer, de sorte qu'une feuille puisse se transformer d'une forme souhaitée à une autre lorsqu'elle est ouverte et repoussée, comme un treillis complexe et extensible.

Avec leur nouvelle méthode, les chercheurs ont conçu et fabriqué un certain nombre de structures kirigami 2D transformables, notamment un cercle qui se transforme en carré et un triangle qui se transforme en cœur.

"Les gens ont parlé du carré et du cercle comme l'un des problèmes impossibles en mathématiques : vous ne pouvez pas transformer l'un en l'autre", explique Gary Choi, postdoctorant et instructeur en mathématiques appliquées au MIT. "Mais avec le kirigami, nous pouvons en fait transformer une forme carrée en forme de cercle."

Pour les ingénieurs, la nouvelle méthode pourrait être utilisée pour résoudre divers problèmes de conception, tels que la façon dont un robot peut être conçu pour se transformer d'une forme à une autre pour effectuer une tâche particulière ou naviguer dans certains espaces. Il existe également un potentiel pour concevoir des matériaux actifs, par exemple en tant que revêtements intelligents pour les bâtiments et les maisons.

"L'une des premières applications auxquelles nous avons pensé était la construction de façades", explique Kaitlyn Becker, professeure adjointe de génie mécanique au MIT. "Cela pourrait nous aider à créer de grandes façades de type kirigami qui peuvent transformer leur forme pour contrôler la lumière du soleil, le rayonnement ultraviolet et s'adapter à leur environnement."

Becker et Choi sont co-auteurs de la nouvelle étude, avec Levi Dudte, chercheur quantitatif à Optiver, et L. Mahadevan, professeur à l'Université de Harvard.

L'espace entre

L'étude est née des travaux antérieurs de l'équipe sur le kirigami et l'origami, l'art japonais du pliage de papier.

"Nous avons découvert qu'il existe de nombreux liens mathématiques entre le kirigami et l'origami", explique Choi. "Nous voulions donc proposer une formulation mathématique qui puisse aider les gens à concevoir une grande variété de modèles."

En 2019, l'équipe a conçu une approche d'optimisation pour le kirigami afin de trouver le modèle de coupes qui serait nécessaire pour transformer une forme en une autre. Mais Choi dit que l'approche était trop gourmande en calculs et qu'il a fallu beaucoup de temps pour dériver un modèle optimal pour réaliser une transformation particulière.

En 2021, les chercheurs ont abordé un problème similaire en origami et ont découvert que, grâce à une perspective légèrement différente, ils étaient en mesure de dériver une stratégie plus efficace. Plutôt que de planifier un motif de plis individuels (similaire aux coupes individuelles de kirigami), l'équipe s'est concentrée sur la croissance d'un motif à partir d'une simple graine pliée. En travaillant panneau par panneau et en établissant des relations entre les panneaux, comme la façon dont un panneau se déplacerait si un panneau adjacent était plié, ils ont pu dériver un algorithme relativement efficace pour planifier la conception de toute structure d'origami.

L'équipe s'est demandé si une approche similaire s'appliquait au kirigami. Dans le kirigami traditionnel, une fois que les découpes ont été faites dans une feuille de papier, la feuille peut être partiellement pliée de sorte que les espaces vides qui en résultent créent une structure tridimensionnelle. Comme les panneaux entre les plis d'origami, les espaces vides entre les coupes et leur relation les uns avec les autres pourraient-ils donner une formule plus efficace pour la conception de kirigami ? Cette question a motivé la nouvelle étude de l'équipe.

Liens mathématiques

L'étude se concentre sur les transformations kirigami bidimensionnelles. Les chercheurs ont envisagé une conception générale de kirigami comprenant une mosaïque de carreaux quadrilatéraux interconnectés, chacun coupé à différents angles et tailles. La mosaïque conceptuelle commence comme une forme et peut être séparée et reconstituée pour former une forme entièrement nouvelle. Le défi consistait à décrire comment une forme peut se transformer en une autre, en fonction des espaces vides entre les tuiles et comment les espaces changent lorsque les tuiles sont séparées et repoussées ensemble.

"Si les carreaux eux-mêmes sont solides et immuables, ce sont les espaces vides entre eux qui sont une opportunité de mouvement", explique Becker.

L'équipe a d'abord considéré la représentation la plus simple de l'espace vide, sous la forme d'un losange, ou ce qu'ils appellent une "liaison à quatre barres". Chaque côté du losange représente une barre ou le bord d'une tuile pleine. Chaque coin du losange représente une liaison ou une charnière qui relie les tuiles. En changeant la longueur et l'angle des bords du losange, l'équipe a pu étudier comment l'espace vide entre les changements.

En étudiant des assemblages de plus en plus grands de liaisons à quatre barres, l'équipe a identifié des relations entre l'angle et la longueur des barres, la forme des espaces vides individuels et la forme de l'assemblage global. Ils ont travaillé ces relations dans une formule générale et ont découvert qu'elle pouvait identifier efficacement le modèle de coupes - y compris leur angle et leur longueur - qui serait nécessaire pour transformer une feuille bidimensionnelle d'une forme souhaitée à une autre.

"Sans un outil comme celui-ci, je pourrais forcer brutalement ce problème dans Matlab, ou deviner et vérifier, mais il me faudrait beaucoup de temps pour obtenir quelque chose qui puisse se transformer d'un cercle en un carré", déclare Becker.

Dans les simulations, l'équipe a découvert que la formule pouvait en effet trouver un motif de carreaux qui transformerait une mosaïque en forme de cercle en carré, ainsi que pratiquement n'importe quelle forme en n'importe quelle autre forme souhaitée.

Allant plus loin, l'équipe a développé deux méthodes de fabrication pour réaliser physiquement les conceptions de la formule. Ils se sont vite rendu compte que l'un des principaux défis de la fabrication des mosaïques transformables consistait à trouver le bon matériau pour servir de charnières de raccordement des carreaux. Les connexions devaient être solides, mais facilement pliables.

"J'ai pensé, qu'est-ce qui est très résistant à la tension et résistant à la déchirure, mais qui peut avoir un rayon de courbure nul, presque comme une charnière précise ?" Becker dit. "Et la réponse, il s'avère, est le tissu."

L'équipe a utilisé deux méthodes - l'impression 3D et le moulage par moulage - pour intégrer de petites bandes de tissu dans des dalles en plastique quadrilatérales, de manière à relier étroitement les dalles tout en leur permettant de se plier les unes contre les autres. En utilisant ces deux méthodes, l'équipe a fabriqué des mosaïques en forme de cercle qui se sont transformées en carrés, ainsi que de simples mosaïques triangulaires qui se sont transformées en formes de cœur plus complexes.

"Nous pouvons essentiellement aller à n'importe quelle forme bidimensionnelle", explique Choi. "C'est garanti, en utilisant notre formulation mathématique. Maintenant, nous cherchons à étendre cela au kirigami 3D."

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